3.2.1立體幾何中的向量方法（一）
一、學(xué)習(xí)目
標(biāo)
1.會(huì)求直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量
；
2.能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平行與垂直關(guān)系；
3.會(huì)求直線(xiàn)和平面的夾角.
二、課前知多少
1. 若兩直線(xiàn)
的方向向量分別是
，則有若
，則
；
____________________________.
2．直線(xiàn)的
方向向量：是指和這條直線(xiàn)所對(duì)應(yīng)向量 
的向量，顯然一條直線(xiàn)的方向向量可以有 ．
3．平面的法向量：是指所在的直線(xiàn)與平面 的向量，顯然一個(gè)平面的法向量有 個(gè)
，它們是 向量．
三、合作探究 問(wèn)題解決
問(wèn)題1．直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量在確定直線(xiàn)、平面平行與垂直關(guān)系中有什么作用？
（1）若兩直線(xiàn)
的方向向量分別是
，則有
, 即______________；
_ , 即__ ____________.
（2）若直線(xiàn)
的方向向量為
，平面
的法向量為
，則有
, 即 ；
_ , 即 .
若
，則
.
_______________________________.[來(lái)源:學(xué).科.網(wǎng)Z.X.X.K]
（3）若兩平面
的法向量分別是
則有
_ , 即 ；
, 即 .
若
，則
.
______________________________.
例題1.正方體
中， 
分別是
的中點(diǎn).
求證：
平面
．
[來(lái)源:學(xué)科網(wǎng)]
問(wèn)題3．
怎樣求平面的法向量的坐標(biāo)？
若要求出一個(gè)平面法向量的坐標(biāo)，一般要建立坐標(biāo)系，然后用待定系數(shù)法求解，一般步驟如下：
（1）設(shè)出平面的法向量為
；
（2）找出平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)的向量的坐標(biāo)
；
（3）根據(jù)法向量的定義建立關(guān)于
的方程組
；
（4）解（3）中的方程組，取其中的一個(gè)解，即得一個(gè)法向量．
例題2.已知點(diǎn)
，求平面
的一個(gè)法向量．
[來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]
[來(lái)源:Z|xx|k.Com]
四、當(dāng)堂檢測(cè)
1.設(shè)
分別是直線(xiàn)
的方向向量，根據(jù)下列條件判斷直線(xiàn)
的位置關(guān)系：
（1）
；__________________________________________；
（2）
； ___________________________________________．
2.設(shè)
分別是平面
的法向量，根據(jù)下列條件判斷平面
的位置關(guān)系：
（1）
；____________________________________________；
（2）
；___________________________________________．
3.正方體
的邊長(zhǎng)為4，
分別是棱
的中點(diǎn).求證：平面
平面
．
五、當(dāng)天作業(yè)
1.已知
，則（ ）
2.下列各組向量中不平行的是（ ）
3.若平面
的法向量分別為
，則（ ）
相交但不垂直 
以上均不正確
4. 設(shè)平面
的法向量為
，平面
的法向量為
，若
，則
等于（ ）
2 
-4 
4 
-2
5.已知
，則平面
的一個(gè)單位法向量是（ ）
6.已知
，且
的方向向
量
，平面
的法向量為
，則
=
7.已知點(diǎn)
和向量
，
，且
，則點(diǎn)
的坐標(biāo)為_____．
8.在四棱錐
中，底面
是正方形，側(cè)棱
底面
，
，
是
的中點(diǎn)，求證：
平面
．
